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衛星軌道上の物体の運動

 先日、SpaceX社の宇宙船・ドラゴンが民間宇宙船として初めて国際宇宙ステーション(ISS)へのドッキングを果たしました。そのミッションのライブ中継の際に、SF作家・野尻抱介氏が「延々とランデヴーするなら軌道の上下じゃなくて前後に並べば、といつも思うんだが。」とツイートしました。
 その後、ツイッター上では、ISSとの衝突防止のフェイルセーフとしてそのようにしているのでは――という事で落ち着いたのですけど、衝突防止のためにどの方向から近づくのが一番合理的なのかでちょっとした議論がありました。そのとき、「軌道上のアプローチで、慣性飛行近似(普通に前に吹かせば前に進む、軌道上であることを意識しないですむ状態)が成り立つのは、アプローチが軌道周期に比べて充分短い時間で済む範囲、ということでしょうかね?」という野尻抱介氏とishiken氏とのやりとりを見て、以前、この問題に関して簡単な計算をした事があるのを思い出しました。その結果を以下に紹介します。
 ――ただし、私はただの学部卒のフリー校正者であり、この分野に関してちゃんと勉強した事はありません。この結果を鵜呑みにしないようお願いします。ちなみに、このような設定でのこのような計算は軌道力学の初歩の初歩であり、大学の学部1年生が練習問題で解くようなレベルの話ですので、ネットや本屋で探せば、ちゃんとした資料がいくらでもあるはずです。

 ■1. 概説

 衛星軌道上にある物体の運動の仕方は、地上の生活に慣れた者にとって意表を突くものである。例えば、図1aのように宇宙ステーションからボールを投げると、ボールは宇宙ステーションから見て図1bのように運動する。また、図2aのようにミサイルを発射すると、ミサイルは図2bのように飛んで行く。このような衛星軌道上の物体の運動について考える。

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 ■2. 計算結果

【前提となる設定】
 衛星軌道上を円運動している物体があるとする。この物体が同一軌道平面上の任意の向きに瞬間的にΔV[m/s]だけ加速したときの、その後の運動の様子を調べる。

【結果の概説】
 図3aのように、十分短い時間内、十分狭い範囲内では、物体はほぼ直進運動をする。
 具体的には、軌道公転周期をT[s]とした場合、2πt/T≪1が成り立つ時間t[s]の間は、図3bのように、x[m]進む間にδ[m]だけ直進方向から横にずれる。このときδ/x=2πt/Tとなる。

 ずれの大きさが最初の速度変化の方向に依らない点は特に注目すべきだろう。また、この近似条件及びずれの大きさがΔV[m/s]の大きさに依らない点も注目に値すると思われる。ただし、もちろん、ΔV[m/s]が大きければ同じ時間t[s]の間に物体が進む距離x[m]は大きくなるので、図3aで示されたように近似が成り立つ範囲は広くなる。

【具体的な数値】
 ISSの軌道付近の物体の運動について考える。
 質量M[kg]の天体の周囲を半径R[m]の円軌道を描いて運動する物体の軌道公転周期T[s]は、T=2π(R3/GM)1/2で与えられる(πは円周率、G[Nm2kg−2]は万有引力定数)。従って、地上400[km](軌道半径R=6778[km])の衛星軌道上にあるISSの軌道公転周期T[s]は、およそT=5.55×103[s](約93分)となる。
 上で述べた近似が成り立つ条件(2πt/T≪1)より、t≪884[s](約15分)を満たすt[s]のうちは、1[m]進む間に1.13×10−3・t[m]だけ直進方向から横にずれる。また、δ/xが1%程度となるのはおよそt=8.84[s]である(「δ/xが1%」という表現については図3b参照)。これは速度変化してから約8.8[s]までの間は、直進方向からの横へのずれは1%未満に過ぎないという事である。つまり、ΔV[m/s]の向きや大きさにかかわらず、約8.8[s]の間は、x[m]進んだ場合、直進方向から横にずれる量は0.01・x[m]未満である。
 今回のドラゴンのようなISSへのドッキングの最終アプローチでは、ΔV=3[cm/s]程度になると思われる(旧宇宙開発事業団(NASDA)の『技術試験衛星VII型 (ETS-VII) ホームページ』内の「ランデブドッキング技術について」ページ参照。このページではロシアの宇宙ステーション・ミールについて述べられているが、ISSでも同じ程度のオーダーであると思われる)。おおざっぱに計算すると、この場合、1[m]進むのにおよそt=30[s]かかり、その間に直進方向から横に3〜4[cm]ずれる事になる。
 

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 ■3. 計算方法

 物体は最初の軌道平面と同一平面上のみで運動するとした。
 図4のように変位座標(δr, δψ)をとり、物体のラグランジアンを求め、運動方程式を立てた。その際、近似として、(δr/r0)2,(r0[dδψ/dt]/r0ω0)2以下の項を捨てた。
 時刻t=0での物体の初期位置は、地球を中心とした等速円運動とし、任意の初速度ΔV=([dδr/dt]t=0, r0[dδψ/dt]t=0)のもとで運動方程式を解いた。
 なお、上記の「ずれ」については、(2πt/T)3以下の項も捨てている。

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 ■4. 補記

 これらの計算結果は、たとえば、宇宙コロニー内における物体の運動を検討する際にも考慮する必要がある。宇宙コロニーが衛星軌道を周回しているとすれば、宇宙コロニー内の物体も上記のような「衛星軌道上の物体の運動」に準じた運動をする。詳しくは、『遠心力に由来する疑似重力発生システム内での物体の運動について』の「3. 物体が宇宙ステーションの内壁に束縛されていない場合の運動」を参照。
 

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